1.1 集合论初步 #
这部分比较简单，略
1.2 拓扑空间 #
拓扑空间被定义为 \((X,\mathscr{T})\) ，其中 \[\mathscr T \subset 2^X\] 是X的全部开集的集合。开集要满足任意并和有限交的封闭性。
\(\mathscr T\) 选取任意性：
- 凝聚拓扑 \(\mathscr T= \{X,\emptyset\}\)
- 离散拓扑 \(\mathscr T = 2^X\)
- 通常拓扑，对 \(\mathbb{R}^n\) 来讲就是普通的开区间，和能表示为开区间并的子集
\(A\subset X\) ,指定拓扑 \(A,\mathscr S\) A有可能不属于 \(\mathscr T\) ，可以定义 \(\mathscr S\) 为： \[\mathscr S:=\left\{V\subset A\middle|\exists O\in \mathscr T\text{such that}V=A\cap O\right\}\] \(\mathscr S\) 为A的由 \(\mathscr T\) 导出的诱导拓扑。 \((A,\mathscr S)\) 为 \((X,\mathscr T)\) 的topological subspace
\((X,\mathscr T)和(Y,\mathscr S)\) 为拓扑空间，映射 \(f:X\to Y\) 连续，若 \[f^{-1}[O]\in \mathscr T\ \ \forall O\in \mathscr S\]
映射f在点 \(x\in X\) 连续，若任意 \(G'\in \mathscr S\ \text{such that}\ f(x)\in G'\) , \(\exists G\in \mathscr T\) 使得 \(x\in G,f[G]\subset G'\) .在所有点连续的映射成为连续映射。
拓扑空间相互同胚，若存在一对一的连续映射 \(f\) ,且逆映射也连续。这样的映射称为同胚映射(homeomorphism)
\(N\subset X\) 是 \(x\in X\) 的一个邻域，若 \(\exists O\in \mathscr T\text{such that}x\in O\subset N\) 。开集邻域称为开邻域
\(A\subset X\) 是开集，当且仅当 \(A\) 为 \(x\) 的邻域 \(\forall x\in A\)
\(C\subset X\) 为闭集，当 \(-C\in \mathscr T\)
- 任意交为闭集
- 有限并为闭集
- 全集X和空集 \(\emptyset\) 为闭集
连通：除X和 \(\emptyset\) 之外没有既开又闭的子集
A的闭包 \(\bar{A}\) 是所有含A的闭集的交集
A的内部 \(i(A)\) 是所有含于A的开集的并集
- \(\bar{A}\) 为闭集;
- \(A\subset A\) ;
- \(A=\bar A \Harr\) A为闭集
- \(i(A)\) 为开集；
- \(i(A)\subset A\)
- \(i(A)=A\Harr A\in \mathscr T\)
- \(\dot A\) 为闭集
A的开覆盖：满足 \(A\subset \bigcup_\alpha O_\alpha\) 开子集的集合 \(\{O_\alpha\}\)
1.3 紧致性[选读] #
开覆盖和有限子覆盖的定义略。
\(A\subset X\) 是紧致的，如果它的任意开覆盖都有有限子覆盖。
\((X,\mathscr T)\) 叫 \(T_2\) 空间或Hausdorff space，若 \[\forall x,y\in X,x\ne y,\exists O_1,O_2\in \mathscr T\text{such that}\\ x\in O_1,y\in O_2且O_1\cap O_2 \ne \emptyset\] Hausdorff空间的定义描述的是：可分离的两点可分别属于两分离的开集邻域
\(T_2\) 空间中紧致的集合为闭集
\(A=\emptyset\) 显然成立。对非空集情形，只需证 \(X-A\in \mathscr T\) ，即证 \(\forall x\in X-A,\exists O\in \mathscr T\text{such that}x\in O\subset X-A\) . 因为X为T2空间，给定 \(x\) ， \(\forall y\in A,\exists O_y,G_y\in \mathscr T\text{such that} x\in O_y,y\in G_y,O_y\cap G_y = \emptyset\) . \(y\) 走遍A给出两个子集的集合 \(\{G_y|y\in A\},\{O_y|y\in A\}\) 易见 \(\{G_y|y\in A\}\) 为A开覆盖。A的紧致性保证必存在有限子覆盖 \(\{G_{y_1},\cdots,G_{y_n}\}\) 。令 \(O\equiv O_{y_1}\cap \cdots\cap O_{y_n}\) ，便有： \(O\in \mathscr T,x\in O,O\cap A = \emptyset\) ，即 \(O\subset X-A\) ，于是 \(X-A\in \mathscr T\) ，A为闭集。