1.Lebesgue外测度与可测集 #
测度是体积概念的推广
E是 \(\mathbb{R}^n\) 点集，若 \(E\) 存在一系列开矩体 \(I_k,k=1,2,\cdots\) ，则它确定了一个非负实数 \[u = \sum_{k=1}^{\infty } |I_k|\] ，记 \[m^*(E) = \inf\left\{u|u=\sum_{k=1}^{\infty } |I_k|,E\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k,I_k为开矩体 \right\}\] 称 \(m^*(E)\) 为集合E的外测度
- 非负
- 单调（有包含关系的集合测度单调增加）
- 次可加性（集合的并的外测度小于等于组成部分测度和）
- 平移不变性（给每个点均进行平移，得到的新集合测度不变）
一些例子：
- 可数个点测度为0
- n维实空间的超平面测度为0
- Cantor集测度为0
2. Lebesgue可测集 #
Lebesgue外测度没有可加性，即有一些集合的外测度不具有可加性。除掉这些集合，得到的的集族具有可列可加性，成为体积、长度概念推广。
设 \(E\subset\mathbb{R}^n\) ,若 \(\forall T\subset\mathbb{R}^n\) ，有 \[m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c),\] 则称E是Lebesgue可测集，简称可测集，记作 \(\frak M\)
可测集性质：
- \(\emptyset\in\frak M,m(\emptyset)=0\)
- \(E\in\frak M\Rightarrow E^c\in \frak M\)
- \(E,F\in\frak M,\Rightarrow E\cup F,E\cap F,E-F\in \frak M\)
- 可列可加性： \(E_j\in\frak M,j=1,2,\cdots\Rightarrow\bigcup_{j=1}^\infty E_j \in\frak M\) ,若 \(E_j\) 之间互不相交，则满足可加性： \[m\left(\bigcup_{j=1}^\infty E_j \right)= \sum_{j=1}^{\infty } m(E_j)\]
3. 测度空间 #
设X是一个非空集， \(\mathcal F\subset 2^X\) 是X的一个 \(\sigma\) 代数，称 \((X,\mathcal F)\) 是一个可测空间，每个集合 \(A\in \mathcal F\) 称为 \(\mathcal F\) 可测集，或简称为可测集。若集函数 \(\mu :\mathcal F \to [0,\infty]\) 具有以下性质：
\[\begin{array}{rl} (1)& \mu(\emptyset)=0;\\ (2)& \text{if}\quad A_n\in \mathcal F, n=1,2,...，\text{such that}\\ & A_i\cap A_j=\emptyset\qquad \forall i\ne j,\text{then}\\ &\mu(\bigcup_n A_n)= \sum_n \mu(A_n) \end{array}\]则称 \(\mu\) 为(X, \(\mathcal F\) )上的一个测度，称三元组 \((X,\mathcal F,\mu)\) 为测度空间
若 \(\mu\) 满足：
\[若 B\subset A \in \mathcal F, \mu(A)=0,则B\in \mathcal F\]则 \(\mu\) 是完备测度， \((X,\mathcal F,\mu)\) 是完备测度空间
若 \(\mu(X)<\infty\) 则称 \(\mu\) 为有限测度。 若 \(\mu(X)=1\) ，则称 \(\mu\) 为概率测度, \((X,\mathcal F,\mu )\) 称为概率测度空间。 对于集合 \(A\in \mathcal F\) ,若存在 \(A_n \in \mathcal F, n = 1,2,...\) 使得 \(A = \bigcup_n A_n,\mu(A_n)<\infty\) ,则称A具有 \(\sigma\) 有限测度 若X本身具有 \(\sigma\) 有限测度，则称 \(\mu\) 为 \(\sigma\) 有限测度。
e.g. Lebesgue 测度m是 \((\mathbb R^n,m)\) 上的一个 \(\sigma\) 有限测度。 在 \(\mathbb R^n,\mathcal{M}\) 上引入如下测度：对于 \(\forall A\in \mathcal{M}\) ，有 \[p(A)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_A \exp{-\frac 1 2 \sum_{j=1}^n x_j^2 }dx_1dx_2...dx_n\] p是 \((\mathbb{R}^n,\mathcal{M})\) 上的一个概率测度。