\(\sigma\) 代数 #
令 \(\mathcal{F}\) 是由集合X中的一些子集构成的集合组( \(\mathcal F \subset 2^X\) )，如果满足：
\[\begin{array}{rl} (1) &\emptyset \in \mathcal{F}\\ (2)&若A\in \mathcal{F} ,则A^c\in \mathcal{F}\\ (3)&若A_n \in \mathcal F , 则\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal F \end{array}\]那么 \(\mathcal F\) 是X的一个
\(\sigma\)
代数
为什么要可列并集也在 \(\mathcal F\) 内,不是交集什么的？因为要计算 \(f\left(\bigcup_i A_i \right)\) 的值，其中 \(f\) 是一种测度函数。所以任意可列并集必须在 \(\mathcal F内\) 。
\(\emptyset\) 和 \(2^X\) 是两个平凡的σ代数。
有限多个开集的交是开集，任意多开集的并是开集； 有限多个闭集的并是闭集，任意多闭集的交是闭集。
\(F_\sigma\) 集， \(G_\delta\) 集 #
开集与闭集的性质： \(F_\sigma\) 集 \(A\subset \mathbb R^n\) 是可数个闭集的并集。 \(G_\delta\) 集 \(B\subset \mathbb R^n\) 是可数个开集的交集。
Borel \(\sigma\) 代数 #
由 \(\mathbb R^n\) 中一切开集构成的开集族所生成的σ代数称为 \(\mathbb R^n\) 的borel σ代数，记作 \(\mathcal B^n\) . \(\mathcal B^n\) 中的元素称为Borel集
显然，一切闭集、开集、 \(F_\sigma\) 集和 \(G_\sigma\) 集都是 \(\mathbb R^n\) 中的Borel集，任意Borel集的余集是Borel集。Borel集合族的可列并、可列交、上极限和下极限构成的集合是Borel集