6.1 四维表述基础 #

这里所讲的狭义相对论（SR）与普物中的很相似，许多概念在此只作提及，重点看广义相对论（GR）中存在不同的地方。

一些物理名词与数学名词的对应：

所谓事件，就是时间一瞬和空间一点的结合。我们可以将炸弹爆炸、两车相撞等都抽象为事件。

粒子是对空间中有质量的点的抽象。与粒子物理学中的质子、中子等有联系，但也不尽相同。我们把粒子分为有静质量和无静质量两类，后者也称为光子。

世界线的表示称为时空图。在时空图上，我们能表示不同世界线的演化过程。

观者（Observer）是进行物理观测的人，一般也抽象为质点。为了观测，观测者手中应有一个走时准确的钟，称为标准钟，该钟的读数称为固有时。观者也有自己的运动轨迹，形成一条世界线。

观者中有一类特殊的观者，称为惯性观者。惯性观者相对于所在的惯性坐标系是静止的。惯性观者形成的世界线 \(C(t)\) 是类时测地线： \[\begin{aligned} \partial_{b}(\partial /\partial t)^a &= 0 \\ \left( \frac{\partial}{\partial t}\right)^b\partial_{b}\left( \frac{\partial}{\partial t} \right)^a &= 0& \end{aligned}\] 其中第一式是由于一个系的普通导数算符作用到坐标基矢上必然为0.

参考系的定义与狭义相对论不同。参考系 \(\mathscr{R}\) 是无数多观者的集合，这些观者应满足条件：对时空中任意一点，有且仅有一个观者的世界线经过这点。该定义是对狭义相对论中参考系定义的推广：在狭义相对论中，对于一个惯性参考系，该系的所有观者均相对静止，形成的世界线均平行于 \(t\) 轴。

所有惯性观者构成的参考系称为惯性参考系

牛顿力学、狭义相对论以及广义相对论的时空及其附加结构： \[\begin{aligned} \text{Newton:}&(\mathbb{R}^4,?)\\ \text{SR:}&(\mathbb{R}^4,\eta_{ab})\\ \text{GR:}&(M,g_{ab}) \end{aligned}\]

狭义相对论是发生在四维闵可夫斯基空间中的物理学。 狭义相对论中，一个质点的速率定义为： \[u:=\frac{\sqrt{ \mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2 }}{\mathrm{d}t}\] \[\begin{aligned} \mathrm{d}s^2 & = -\mathrm{d}t^2+\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2 = \\ &=-\mathrm{d}t^2(1-\frac{\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2}{dt^2}) \\ &=-\mathrm{d}t^2(1-u^2) \end{aligned}\] 于是我们有 \[\begin{aligned} \text{null}\leftrightarrow& \mathrm{d}s^2=0\leftrightarrow u=1\\ \text{time like}\leftrightarrow& \mathrm{d}s^2<0\leftrightarrow u<1 \\ \text{space like}\leftrightarrow& \mathrm{d}s^2>0 \end{aligned}\]

设 \(\{x^\mu\}\) 是洛伦兹坐标系，我们通过微分同胚 \(\phi\) 将其变换为坐标系 \(\{x'^\mu\}\) 。当变换满足什么条件时，新的参考系是洛伦兹坐标系？ 在第四章我们曾讲过，微分同胚映射 \(\phi\) 是等度规映射即可满足条件。Killing矢量场产生的单参微分同胚群即为单参等度规群。对于闵氏空间，有10个独立的Killing矢量场，分别为4个时空平移，3个空间转动和3个boost。

固有时和标准时

狭义相对论中的对钟方式：设有两个观者 \(G,G'\) , \(G\) 在 \(\tau_{1}\) 时间发出光信号， \(G'\) 在 \(\tau_{2}\) 时收到后立刻反射回 \(G\) ， \(G\) 在 \(\tau_{3}\) 时收到该信号。则可以约定 \(G\) 系以 \(\frac{\tau_{1}+\tau_{3}}{2}\) 作为零点， \(G'\) 系以 \(\tau_{2}\) 作为零点。

坐标时与固有时不同，它可以脱离世界线进行定义。 固有时和惯性坐标时之间的联系： \(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=\gamma_{u}\) ，其中 \(\gamma_{u}\equiv (1-u^2)^{-\frac{1}{2}}\) ， \(u\) 是质点相对于 \(\mathscr{R}\) 的速率。

非相对论中，空间的引力场由引力势 \(\phi\) 描述，它同质量密度 \(\mu\) 之间满足泊松方程： \[\nabla^2\phi = 4\pi \mu\] 除引力外不受力的质点称为自由质点，单位质量自由质点的运动满足方程： \[\frac{\mathrm{d}^2x^i}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{\partial \phi}{\partial x^i},\qquad i=1,2,3\] 其中 \(t\) 是牛顿绝对时间， \(x^i\) 是空间笛卡尔坐标。 牛顿引力论的背景时空为牛顿时空，由流形 \(\mathbb{R}^4\) 及其上的如下内禀结构组成：

1. 存在绝对时间 \(t:\mathbb{R}^4\to R\)
2. 存在导数算符 \(\nabla_{a}\) ，在特定坐标系 \(\{x^\mu\}\) 上的克氏符满足： \[\Gamma^i{}_{00}=\partial f/\partial x^i,\qquad i=1,2,3,其他\Gamma^\mu{}_{\nu\sigma}=0\] 设 \(\gamma(\lambda)\) 是牛顿时空的测地线，则其坐标满足方程组： \[\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu{}_{\nu\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}\frac{dx^\sigma}{d\lambda}=0\qquad \mu=0,1,2,3\] 可解出 \(t=\alpha\lambda+\beta\) ，因此当 \(\alpha \ne 0\) ， \(t\) 是测地线的仿射参数。对于其他坐标 \(x^i\) ，有 \[\frac{\mathrm{d}^2x^i}{\mathrm{d}t^2}+\frac{ \partial f }{ \partial x ^i}=0,\qquad i=1,2,3\] 只要把 \(f\) 解释为引力势 \(\phi\) ,把 \(x^i\) 解释为伽利略坐标，则牛顿时空中以绝对时间 \(t\) 为仿射参数的测地线对应于自由质点的世界线。 把克里斯托弗张量代入，可以求出黎曼张量和里奇张量： \[R_{0i0}{}^j = \frac{\partial^2\phi}{\partial x^i\partial x^j},\qquad其他=0\] \[R_{00}=4\pi\mu,\qquad 其他R_{\mu\nu}=0\] 因此牛顿时空不平之。但 \(\nabla_{a}\) 在每个绝对同时面上的诱导算符是平直的（ \(\Gamma^i{}_{jk}=0,i,j,k=1,2,3\) ）一个笛卡尔系的普通导数算符正是 \(\nabla_{a}\) 诱导出的导数算符。

6.2 典型效应分析 #

本章列出的典型效应包括：尺缩效应、钟慢效应、孪生子效应（佯谬）以及车库佯谬。内容请见原书。

6.3 质点运动学与动力学 #

守恒量：在物理过程中保持常值（不随时间而变）的量，强调物理过程 不变量：不随参考系、坐标系和观者等人为因素而变化的量，强调坐标系的变换

为观测质点运动，可选择一个参考系。作为一个观者 \(G\) ,为观测与自己有一定距离的事件，必然要通过一定的信号传递，而信号传递就要花一定时间。理论上最明确的是在事件发生处零距离地p直接观测，称为当时当地观测。此时只需要给出观者所在世界线在该点的切矢 \(Z^a\) ，于是可以提炼出瞬时观者的概念。瞬时观者有两个要素：点p，以及p点一个指向未来的类时单位矢量 \(Z^a\) ,记作 \((p,Z^a)\) 。 作为观者，除了可以通过固有时确定观念外，还可以确定空间方向。该点p处的所有空间矢量集合 \(W_{p}\) 是三维的。而 \(p\) 作为 \(\mathbb{R}^4\) 一点，切空间 \(V_{p}\) 是四位的。二者关系为：p点全部空间矢量均与p点的四速度 \(Z^a\) 正交： \[W_{p} = \{w^a\in V_{p}\mid \eta_{ab}w^aZ^b=0\}\] 设 \(w^a\in V_{p}\) ,当 \(w^a\in W_{p}\) 时，就称 \(w^a\) 对观者G而言是空间矢量。在这个子空间上， \(\eta_{ab}\) 的诱导度规为： \(h_{ab}=\eta_{ab}+Z_{a}Z_{b}\) ， \(h^a{}_{b}=\delta^a{}_{b}+Z^aZ_{b}\) 是从 \(V_{p}\to W_{p}\) 的投影映射，即 \(h^a{}_{b}v^b\in W_{p}\) 是 \(v^a\in V_{p}\) 在 \(W_{p}\) 上投影

设 \(L(\tau)\) 与某观测者 \(G\) 交于点 \(p\) ，讨论 \(L\) 在 \(p\) 点的相对3速度。首先，对L的四速度在参考系下分解： \[U^a = \left( \frac{ \partial }{ \partial \tau } \right)^a=\left( \frac{ \partial }{ \partial t } \right)^a\frac{ \mathrm d t }{ \mathrm d \tau } +\left( \frac{ \partial }{ \partial x^i } \right)^a\frac{ \mathrm d x^i }{ \mathrm d \tau } =Z^a\frac{ \mathrm d t }{ \mathrm d \tau } +\left( \frac{ \partial }{ \partial x^i } \right)^a\frac{ \mathrm d x^i }{ \mathrm d \tau }\] 质点 \(L\) 相对 \(G\) 三速度定义为： \[u^a:=\left( \frac{ \partial }{ \partial x^i } \right)^a\frac{ \mathrm d x^i }{ \mathrm d t }\] 这是 \(U^a\) 的空间投影，即 \(h^a{}_{b}U^b\) .引入 \(\gamma=\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d\tau}}\) ， \(u^a=\frac{h^a{}_{b}U^b}{\gamma}\) 。 定义三速率为其长度： \(u=\sqrt{ u^au_{a} }\) . 如果瞬时观者 \(p,Z^a\) 恰好与被观测例子世界线 \(L\) 相切，则 \((p,Z^a)\) 称为该粒子的瞬时静止观者，这时由 \(p,Z^a\) 决定的测地线称为粒子 \(L\) 在 \(p\) 时刻的瞬时静止惯性观者

由上式可推出质量、能量和3动量的关系： \[P^aP_{a} = (EZ^a + p^a)(EZ_{a}+p_{a}) = -E^2 + p^2\] 又 \(P^aP_{a}=mU^amU_{a}=-m^2\) ，于是 \(E^2=m^2+p^2\)

为了观测，每个观者除了需要标准钟外还需要一个三维标架。3标架即为3根单位长的且两两正交的架子。由他们可抽象处观者世界线上的三个正交归一空间矢量场 \(\{(e_{i})^a,i=1,2,3\}\) 。连同 \((e_{0})^a=Z^a\) 在内，构成了四维标架场。今后谈及观者的4标架场无声明时都指右手标架场。 对于惯性观者，要求其是做惯性运动的无自转观者。做惯性运动等价于观者世界线为测地线；而无自转则是对线上的4-标架场上的要求。关于“转与不转”的定义，对于惯性观者，要求空间部分的坐标架矢量是沿世界线平移的；对于非惯性观者，请见第七章。

6.4 连续介质的能动张量 #

对于连续介质，我们关注的不是个别粒子，而是空间每点的能量密度、动量密度、能流密度、动量流密度等，可见连续介质在很多方面类似电磁场，可与之统称为物质场。设小体积 \(V\) 内静质量 \(m\) ,相对某惯性系3速度为 \(\vec{u}\) ，则3动量 \(\vec{p}=\gamma m \vec{u}=\frac{E}{c^2}\vec{u}\) 。于是同除V，得到： \[\text{3动量密度}=\frac{1}{c^2}\text{能量密度}\times \vec{u}=\frac{1}{c^2}\text{能流密度}\] 正如质点的能量和3动量同一组成4动量矢量 \(P^a\) 一样，电磁场这些分量组成 \((0,2)\) 型张量 \(T_{ab}\) ，称为能动张量，是4维闵氏时空的张量场，各种3维密度是其不同分量。事实上，任何物质场都有能动张量 \(T_{ab}\) ，具有性质：

1. \(T_{ab}=T_{ba}\)
2. 任何封闭物质场有： \(\partial^aT_{ab}=0\) ，对应了能量、动量和角动量守恒。
3. 对任意瞬时观者 \((p,(e_{\mu})^a),(e_{0})^a=Z^a\) 有：
   1. \(\mu\equiv T_{ab}Z^aZ^b=T_{00}\) 是该观者测得的能量密度
   2. \(w_{i}\equiv -T_{ab}Z^a(e_{i})^b=-T_{0i}\) 是观测者测得的3动量密度的 \(i\) 分量，同时也是 \(\frac{\text{Energy Flux}}{c^2}\) 的 \(i\) 分量
   3. \(T_{ab}(e_{i})^a(e_{j})^b=T_{ij}\) 是该观测者测得的3应力张量的ij分量。即：取小面元和其法向量 \(n_{b}\) ，则法向量所指一侧的物质受另一侧物质作用力为： \(F^a=\sum_{b=1}^3 T^{ab}n_{b},\qquad a=1,2,3\) 。或者如下解释 \(\hat{T}^{ab}=T^{ij}(e_{i})^a(e_{j})^b\) 的物理意义： \(T^{ij}=T_{ij}=\Delta S\text{一侧物质对它侧物质的力的j分量}\) 。同时，由于力是动量的变化率，这意味着三维空间下的 \(\hat{T}_{ab}\) 也是3动量流密度张量: \[\hat{T}^{ab}(e^i)_{b} = \text{单位时间内沿}(e_{i})^a方向穿过它的与(e_{i})^a垂直的单位面积3动量\]

\(\vec{p}=\gamma m \vec{u}=\frac{1}{c^2}E\vec{u}\) ，对等式同乘 \(\frac{1}{V}\) \(\implies \text{momentum density}=\frac{1}{c^2}\times \text{energy density}\times \vec{u}\) 上式类比 \(\vec{j}=\rho \vec{u}\) ，其中 \(\vec{j}\) 是 \(\rho\) 对应的物理量的“密度”。因此就得到， \(\text{momentum density} = \frac{1}{c^2}\times \text{energy flux}\)

注：上式与 \(P^a=EZ^a+p^a\) 很像，两者都是把4-矢量做3+1分解；但要注意，本章中被分解的4动量密度 \(W^a\) 从定义开始就是依赖观者的；而 \(P^a\) 是绝对的、不依赖观者的。

6.5 理想流体动力学 #

对共动观者， \[T_{ab}(e_{0})^a(e_{0})^b = T_{ab}U^aU^b=(\mu+p)U_{a}U_{b}U^aU^b+p\eta_{ab}U^aU^b=\mu+p-p=\mu\] 可见 \(\mu\) 是共动观者测得的能量密度，也叫固有能量密度。设 \(\{(e_{i})^a\}\) 代表共动观者的3-标架，则 \[T_{ab}(e_{i})^a(e_{j})^b = p\eta_{ab}(e_{i})^a(e_{j})^b = p\delta_{ij}\] 即共动观者测得的3维应力张量的矩阵是对角矩阵，只有压强而无切向应力。而且由 \(T_{11}=T_{22}=T_{33}=p\) 知道这个压强是各向同性的。 \(T_{ab}(e_{0})^a(e_{i})^b = 0\) 表明共动观者测得能流密度为0，因而没有热传导。 理想气体压强 \(p\) 与质量密度 \(\mu\) 有如下熟知关系： \[p=\frac{\mu \bar{u^2}}{3}\] 因此对于非相对论流体， \(p\ll \mu\) (取 \(c=1\) )。而相对论流体不同。恒温箱内达到热平衡的电磁辐射可以看成极端相对论流体，称为黑体辐射，也可叫做光子气。其压强和能量密度也满足类似关系： \(p=\frac{\mu}{3}\) 。黑体辐射之所以可以看作理想流体，关键在于其光子相对于各向同性参考系有个充分杂乱的随机运动。从探照灯出来的光束不能看作理想流体，因为不存在一个参考系，在该系下光束是各向同性的。

下面来推导相对论理想流体中的质量守恒和Euler方程的推广。 牛顿力学中的理想流体服从两个重要规律：描述质量密度的连续性方程 \[\frac{ \partial \mu }{ \partial t } +\vec{\nabla}\cdot (\mu \vec{u})=0\] 与描述3速度的时间变化的Euler方程： \[-\vec{\nabla}p = \mu \left[ \frac{ \partial \vec{u} }{ \partial t } +(\vec{u}\cdot \vec{\nabla}) \vec{u}\right]\] 下面介绍这两个规律在相对论中的推广。设理想流体同外界无相互作用，则其能动张量满足 \(\partial^aT_{ab}=0\) ， \(E#1\)