Group theory补充： #
\((X,\theta(X)),(Y,\theta(Y))\) 都是拓扑空间， \(Z=X\otimes Y\) 是X与Y的直积集，令 \[\theta(Z) = \left\{O=\bigcup_{O_1\in\tilde{O_1},O_2\in\tilde{O_2}} O_1\otimes O_2|\tilde{O_1}\in \theta(X),\tilde{O_2}\in\theta(Y)\right\}\] 则 \(\theta(Z)\) 是Z上的一个拓扑， \((Z,\theta(Z))\) 是X和Y的直积拓扑空间
\((X,\theta)\) 为连通拓扑空间，若 \(\nexists\ 开集\ O_1,O_2\ \text{such that}\) \[O_1\cup O_2=X \\ P_1\cap O_2 = \emptyset \\\] 则称 \((X,\theta)\) 是连通的拓扑空间；反之则是不连通的
道路连通与连通的区别：道路连通的条件更加严格，道路连通的拓扑空间一定连通。
\((X,\mathscr\theta(X)),(Y,\mathscr\theta(Y))\) 是拓扑空间，如果 \(f:X\to Y\) 满足： \(\forall x\in X,\forall f(x)邻域 V_{f(x)}\subset Y\) ,则 \(\exists x\) 的邻域 \(U_x\ \text{such that}\ f(U_x)\subset V_{f(x)}\) ，则称映射 \(f\) 在 \(x\) 点连续
\(f:X\to Y\) 是两拓扑空间的映射，下面四条件等价：
- \(f\) 是连续映射
- \(Y\) 中开集的原像为 \(X\) 中的开集
- \(Y\) 中闭集原像为闭集
- \(\forall A\subset X\) , \(f(\bar{A})\subset \overline{f(A)}\) , \(\bar{A}\) 为A的闭包
道路 \(\alpha\) 是连续映射 \(I=[0,1]\to X\) ，它连接 \(\alpha(0)=x_0\) 和 \(\alpha(1)=x_1\) ,是连接两点的一条道路
若拓扑空间中任意两点存在一条道路，则这个拓扑空间是道路连通的
\(f_0,f_1:X\to Y\) 是两拓扑空间连续映射，若存在连续映射F: \(X\otimes I\to Y\) ，使得 \(\forall x\in X\) , \[F(x,0)=f_0(x),F(x,1)=f_1(x)\] 其中 \(I=[0,1]\) ，则称映射 \(f_0,f_1\) 同伦,记为 \(f_0\simeq f_1:X\to Y\) F称为 \(f_0\) 到 \(f_1\) 的伦移。当 \(f_1\) 是一个常值映射时，与之同伦的映射称为零伦映射
道路 \(\alpha:I=[0,1]\to X\) 满足 \(\alpha(0)=x_0,\alpha(1)=x_1\) 道路 \(\beta:I\to X\) 也连接了相同的两点。若定义 \(F:I\otimes I\to X\) 使得 \(\forall t_1,t_2\in I\) ，有： \[F(t_1,0)=\alpha(t_1),F(t_1,1)=\beta(t_1)\\ F(0,t_2)=x_0,F(1,t_2)=x_1\] 则有道路 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 同伦，记为 \(\alpha\cong\beta\) , \(F\) 为 \(\alpha\) 到 \(\beta\) 的伦移
改变第一个参数：沿路径变化 改变第二个：路径本身连续变化，从 \(\alpha\) 到 \(\beta\)
在连续映射之间定义的二元关系“全等” \(\cong\) 是一种等价关系：
- \(f\cong f\)
- \(f\cong g\Rightarrow g\cong f\)
- \(f\cong g,g\cong h\Rightarrow f\cong h\)
道路之间的同伦关系也是等价关系。
道路 \(\alpha,\beta\) 的乘积 \(\alpha\beta\) 定义为 \(\alpha\) 终点与 \(\beta\) 起点相接形成的道路(必须首尾相接才有定义)
\(\alpha_0\cong \alpha_1\) , \(\beta_0\cong \beta_1\) ,若 \(\alpha_0\beta_0\) 有定义，则 \(\alpha_0\beta_0\cong \alpha_1\beta_1\)
\(\alpha:I\to X\) 是连接 \(x_0,x_1\) 两点的道路，则 \(\langle\alpha \rangle\) 描述所有与 \(\alpha\) 同伦的道路的集合，为道路同伦类
所有道路同伦类有相同的起点和终点。可定义道路同伦类乘积 \(\langle\alpha\rangle \langle\beta\rangle =\langle \alpha\beta\rangle\) ，乘积满足结合律。 逆的性质： \(\langle\alpha^{-1}\rangle = \langle\alpha\rangle^{-1}\) 定义乘法单位元 \(e_{x_0}\) 为将 \(I\otimes I\) 全部映到一个点 \(x_0\) 的同伦类，满足乘法的基本性质： \[\langle\alpha\rangle \langle e_{x_0}\rangle =\langle\alpha\rangle\langle e_{x_1}\rangle = \langle\alpha\rangle \\ \langle\alpha\rangle \langle\alpha^{-1}\rangle =\langle e_{x_1}\rangle,\ \langle \alpha^{-1}\rangle \langle\alpha\rangle = \langle e_{x_0}\rangle\] 于是定义了以道路同伦类为群元、以常值映射为单位元、有逆元、封闭性和结合律的群。称之为基本群。
X为拓扑空间， \(x_0\) 为其中一点，所有起点=终点= \(x_0\) 的道路同伦类的集合，以 \(\langle e_{x_0}\rangle\) 为单位元，以 \(\langle\alpha\rangle\langle\beta\rangle=\langle\alpha\beta\rangle,\langle\alpha^{-1}\rangle=\langle\alpha\rangle^{-1}\) 为规则定义乘法和逆元，构成的群称为拓扑空间X以 \(x_0\) 为基点的基本群
对于道路连通的拓扑空间，取不同基点，基本群相互同构。一个道路连通的拓扑空间，若其基本群只包含单位元素，则空间是单连通的：空间中任意封闭的线可以连续地缩为一点。如果一个道路连通地拓扑空间地基本群有m个元素，则拓扑空间具有m度连通度。
略
描述开集 \(S^1\) ： 定义开集合 \(U_1=S_1-\{1\}\) , 定义映射 \(\phi_1:U_1\to(0,2\pi)\) 为： \(e^{i\theta}\to \theta\) 再定义开集合 \(U_2=S^1-\{e^{i\pi}\}\) 定义映射 \(\phi_2:U_2\to(\pi,3\pi)\) 为： \(e^{i\eta}\to\eta\) 这样就确定了一个流形 \(S^1,\Phi=\{(U_1,\phi_1),(U_2,\phi_2)\}\) ，来描述 弯曲的一维欧氏空间
流形间的光滑映射：
设 \((X_1,\Phi_1)\) , \((X_2,\Phi_2)\) 分别为 \(m\) 维和 \(n\) 维流形，如果存在映射 \(f\) ： \[f:X\to Y\] 且对 \(\forall (V,\varphi_V)\in \Phi_2\) , \(\exists (U,\varphi_U)\in \Phi_1,x\in U\) 满足： \(f(U)\subset V\) , \(\varphi_V\circ f\circ \varphi_U^{-1}(U):\varphi_U(U) \to \varphi_V(V)\) 是 \(C^\infty\) 的.这时称 \(f\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的 \(C^\infty\) 映射，或光滑映射。
对于两个维度相同的 \(C^\infty\) 流形 \((X,\Phi_1),(Y,\Phi_2)\) ，存在同胚映射 \(f\) ，逆映射 \(f^{-1}\) ,若二者都是光滑映射，则两个微分流形可微同胚
\((X,\Psi),(Y,\Phi)\) 分别是m n维的 \(C^\infty\) 流形，其中 \(\Psi=\{(U,\psi(U)\},\Phi=\{(V,\varphi(V)\}\) 。可定义直积拓扑空间 \(X\times Y\) 的流形结构为： \[\Omega=\{(U\times V,(\psi(U),\varphi(V))\}\] 其中 \((\psi(U),\varphi(V))\) 为欧式空间的笛卡尔积， \((X\times Y,\Omega)\) 为二者的直积流形
7.4 李群 #
\(G=\{\cdots,g,\cdots,f,\cdots\}\) 是一个群，在其基础上若继续满足：
- G形成一个拓扑空间
- G上的运算是连续的
则 \(G\) 是一个拓扑群
拓扑群的连续具体表现在：
- \(\forall f,g\in G\) ,任意 \(gf\) 的邻域 \(W\) ,都存在 \(g\) 的邻域 \(U\) 与 \(f\) 的邻域 \(V\) ，使得 \(UV\subset W\)
- \(\forall g\in G\) ，对其逆元素 \(g^{-1}\) 的任意邻域 \(W\) ， \(\exists g邻域 U\) 使得 \(U^{-1}\subset V\)
- G也是一个n维光滑流形
- 乘法 \(\varphi:G\times G\to G\) 和求逆 \(\tau:G\to G\) 都是光滑映射
则称G是一个n维李群