黎曼（内禀）曲率张量 #

把nabla算子推广到任意流形，其上可以没有度规，所以要分清矢量和对偶矢量。在推广 \(\vec\nabla\) 时它更像对偶矢量，故记作 \(\nabla_a\) 。

任何流形必存在导数算符。事实上，导数算符存在且有多个。设 \(\nabla_a\) 和 \(\tilde\nabla_a\) 为两个导数算符，我们可推出它们作用于同一函数的结果相同： \(\nabla_a f=\tilde \nabla_a f=(\mathrm{d} f)_a, \forall f\in\mathscr F_M\) ，二者不同只能体现在非标量的标量场作用上。

这说明，虽然导数 \([\nabla_a\omega_b]_p\) 依赖于 \(\omega_b\) 在p邻域内的取值，但导数的差 \([(\tilde\nabla_a -\nabla_a)\omega_b]_p\) 只依赖于 \(\omega_b\) 在p点的取值，说明 \(\tilde \nabla_a-\nabla_a\) 是把p点的 \((0,1)\) 对偶矢量 \(\omega_b|_p\) 变为p点的 \((0,2)\) 型张量的线性映射。给定p点的一个对偶矢量 \(\mu_a\) ,尽管把它延拓为矢量场 \(\omega_b\ \text{such that}\ \omega_b|_p=\mu_b\) 有很多种延拓方式，但再作用上 \(\tilde{\nabla}_a-\nabla_a\) 得到的 \((0,2)\) 型张量场就只有一种，因此这种延拓是自然的。 因而， \(\tilde{\nabla}_a-\nabla_a\) 作为一个映射，对应一个 \((1,2)\) 型张量 \(C^c{}_{ab}\) ，满足： \[[(\tilde\nabla_a-\nabla_a)\omega_b]_p =C^c{}_{ab} \omega_c|_p \\\] 即

对于 \((1,0)\) 型： \[\nabla_av^b = \tilde\nabla_av^b + C^b{}_{ac}v^c\] \((1,1)\) 型： \(\nabla_aT^b{}_c = \tilde\nabla_a T^b{}_{c}+C^b{}_{ad}T^d{}_{c}-C^e{}_{ac}T^b{}_{e}\)

与之对应的有协变导数算符(covariant derivative) \(\nabla_a\) ，它们与坐标系（或其他人为因素）无关。 普通导数算符作用与该系的任意坐标基矢和任一对偶坐标基矢结果为0： \(\partial_a(\partial/\partial x^\nu)^b = 0,\partial_a(\mathrm{d} x^\nu)_b=0\) 这时可以依据 \(\partial_a\) 表示 \(\nabla_a\) ，写出克氏符:

问题：“克氏符是不是张量？” 克氏符是否为张量和语境有关，称其为张量和非张量并不矛盾。 我们取定两个坐标系 \(\{x^\mu\}\) , \(\{x'^\mu\}\) ，可以分别诱导出两个克氏符 \(\Gamma^a{}_{bc},\bar\Gamma^a{}_{bc}\) 。二者关系如下：

克氏符是张量，但是依赖于坐标系的。与之类似地， \(\partial_a v^b\) 也是依赖于坐标系的张量： \(\partial_av^b\ne \partial_a' v^b\) 定义 \(v^\nu{}_{,\mu}\) 和 \(v^\nu{}_{;\mu}\) : \[\partial_av^b =(\mathrm{d} x^\mu)_a \left({\partial \over\partial x^\nu } \right)^b v^\nu{}_{,\mu} \\ \partial_a' v^b = (\mathrm{d} x'^\mu )_a \left({\partial \over\partial x'^\nu }\right)^b \partial'_\mu v'^\nu\] 用微分流形选定的 \(\nabla_a\) ： \(\nabla_av^b =(\mathrm{d} x^\mu)_a\left({\partial \over\partial x^\nu } \right)^bv^\nu {}_{;\mu}\) 容易证明二者的关系为：

对易子与导数算符：对易子的定义 \([u,v]^a\) 不需要流形 \(M\) 有附加结构，但它的定义不能脱离被作用对象：标量场 \(f\) 。有了导数算符后就可以借助任意导数算符来写出它的显表达式：

3.2 矢量场沿曲线的导数和平移 #

3.2.1 矢量场沿曲线的平移 #

有了导数的微分流形中，我们可以讨论一个向量场是否是沿一条曲线平移的：

但当我们确定了导数 \(\nabla_a\) 后，我们可以从p到q画一条线 \(C\) ，把 \(v^a|_p\) 沿线平移到q点得到 \(\tilde v^a|_q\) ，然后比较 \(\tilde v^a|_q\) 是否等于 \(u^a|_{q}\) 。 但如果我们选一条不同的curve \(C'\) ，得到的平移结果是否一样呢？并不总是如此。这叫做曲线相关的。一般只有欧氏、闵氏这样的简单空间中，平移才是曲线无关的。 这时我们发现， \(\nabla_a\) 的存在为两个切空间建立了（哪怕是曲线相关的）联络(Connection)

3.2.2 与度规相适配的导数算符 #

如果我们再假设 \(M\) 上还选定了度规 \(g_{ab}\) ，矢量之间就可谈及内积。 为使得平移概念与欧式空间中熟知的平移一致，需要补充要求： \(u^a,v^a\) 是 \(C(t)\) 上矢量场， \(u^av_a\) 在 \(C(t)\) 上是常数（即两矢量平移时内积不变）。设 \(T^a\) 为 \(C(t)\) 的切矢，这一要求等价于 \[0=T^c\nabla_c(g_{ab}u^av^b)=g_{ab}u^aT^c\nabla_cv^b+g_{ab}v^bT^c\nabla_c u^a+u^av^bT^c\nabla_c g_{ab}=u^aT^bv^c \nabla_cg_{ab}\\\] 上式对任意的u和v成立，因此二者适配的充要条件为：

（注：由于平移性质 \(T^b\nabla_b u^a=0,T^b\nabla_b v^a=0\) ） 给定度规 \(g_{ab}\) ，一定存在唯一的 \(\nabla_c\) ，使得上式成立.

给定一组不适配的 \(\tilde \nabla_a\) 和 \(g_{bc}\) ，如何找到与度规适配的导数算符 \(\nabla_a\) ?上面的证明已经给出了答案。

继续证明的推导，用 \(\partial_a\) 充当 \(\tilde\nabla_a\) ， \[\Gamma^c{}_{ab} = g^{cd}\Gamma_{dab} = \frac{1}{2}g^{cd} (\partial_ag_{bd}+\partial_bg_{ad}-\partial_dg_{ab})\] 用具体指标： \[\begin{aligned} \Gamma^\sigma{}_{\mu\nu} &= \Gamma^c{}_{ab} (\mathrm{d} x^\sigma)_c (\partial/\partial x^\mu)^a (\partial/\partial x^\nu)^b\\ &=\frac 1 2 g^{\sigma \rho}(g_{\nu\rho,\mu}+g_{\mu\rho,\nu}-g_{\mu\nu,\rho})\\ &=\frac 1 2 g^{\sigma\rho}(g_{\rho\mu,\nu}+g_{\nu\rho,\mu}-g_{\mu\nu,\rho})(指标不断轮换，好记) \end{aligned}\]

3.2.3 矢量场沿曲线导数与沿曲线的平移之间的关系 #

考虑最简单的欧式空间。

可以证明， \(T^b\partial_bv^a\) 和 \(\mathrm{d} \vec v/\mathrm{d} t\) 相等。我们只需证明第 \(i\) 分量相等： \((\mathrm{d} x^i)_aT^b\partial_bv^a=T^b\partial_b(\mathrm{d} x^i)_a v^a=T^b\partial_b v^i=T(v^i)=\mathrm{d} v^i/\mathrm{d} t\) 将结论推广到任意 \(\nabla_a\) 的流形M的任意曲线，便将 \(T^b\nabla_b v^a\) 称为 \(v^a\) 沿 \(C(t)\) 的导数。有时也用 \(Dv^a/\mathrm{d} t\) 标记这一导数，即 \[D v^a/\mathrm{d} t \equiv T^b \nabla_b v^a\] . 这个定义没法推广到带有任意联络 \(\nabla_a\) 的流形，因为平移在一般的空间是曲线以来的。我们用导数 \(T^b\nabla_bv^a\) 定义了矢量 \(v^a\) 沿曲线的平移，但这么定义比较抽象。我们可以借助平移的概念反过来定义导数，即：

3.3 测地线 #

曲线 \(C(t)\) 的切矢 \(T^a\) 是 \(C(t)\) 上的矢量场。如果它本身是沿 \(C(t)\) 的平移，则这是一条测地线。

\(T^b\nabla_b v^a = T^b(\partial_b v^a+\Gamma^a{}_{bc}v^c)=0\) ，得到满足的微分方程： \(\mathrm{d} v^a/\mathrm{d} t+\Gamma^a{}_{bc}T^bv^c=0\) ，代入 \(v^a=T^a\) : \[\frac{\mathrm{d} T^\mu }{\mathrm{d} t}+\Gamma^\mu{}_{\nu\sigma} T^{\nu}T^{\sigma}=0\] 设测地线 \(\gamma(t)\) 的表达式为 \(x^\nu=x^\nu(t)\) ，则 \(T^\mu = \mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d} t\) ,上式写为： \[\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu }{\mathrm{d} t^2}+\Gamma^\mu {}_{\nu\sigma}\frac{\mathrm{d} x^\nu}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} x^\sigma }{\mathrm{d} t}=0\] 下面举几个常用的例子：

1. 欧式度规在笛卡尔系的克氏符为0，测地线方程通解为: \(x^\mu(t)=a^\mu t+b^\mu\) .因此测地线可以视作欧式空间中直线向广义黎曼空间的推广，在闵氏空间也有类似的结论。
2. \(S^2\) 是三维欧式空间的二维球面，以球心为原点建系，三维欧式线元为 \(\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2(\mathrm{d} \theta^2+\sin^2\theta \mathrm{d} \phi^2)\) ，若线元在 \(S^2\) 上，则 \(r=R,\mathrm{d} r=0\) ，因此得到诱导线元 \(\mathrm{d} \hat s^2 = R^2(\mathrm{d} \theta^2+\sin^2\theta \mathrm{d} \phi^2)\) ，在坐标分量的度规 \(g_{\theta\theta}=R^2,g_{\phi\phi}=R^2\sin^2\theta,g_{\theta\phi}=g_{\phi\theta}=0\) ,测地线为大圆弧

因为切矢 \(T^a\) 沿测地线平移,故内积 \(g_{ab}T^aT^b\) 为常数。证明可考虑 \(T^c\nabla_c(g_{ab}T^aT^b)\) 是否为零： \[\begin{aligned} &T^c\nabla_c(g_{ab}T^aT^b)\\ =&\nabla_c(g_{ab})T^cT^aT^b+T^ag_{ab}T^c\nabla_cT^b+T^bg_{ab}T^c\nabla_cT^a \\ =&0 \end{aligned}\] (5)中第一项导数算符与度规适配，因此为 \(0\) ;后两项为测地线切矢沿自身平移的性质 因此, \(g_{ab}T^aT^b\) 只会恒正、恒负或恒为0，不存在分段类时/类空的测地线

在欧式空间中，两点之间线段最短；但在黎曼空间中，是否有类似的结论？

一元函数取极值可以是极小值 \(f''(x)>0\) ，极大值 \(f''(x)<0\) ，或既非极小值又非极大值 \(f''(x)=0\) ，线长也有三种可能： 对 \(g_{ab}\) 正定的情况， \(p,q\) 之间曲线长度一定不会是极大值，取了最小值的一定是测地线，但测地线不一定是取最小值的曲线。

对洛伦兹度规的情况，考虑二维闵氏空间 \((\mathbb{R}^2,\eta_{ab})\) ， \(\eta_{ab} = \eta_{\mu\nu}(\mathrm{d} x^\mu)_a(\mathrm{d} x^\nu)_b\) ，线元为 \(\mathrm{d} s^2 = \eta_{\mu\nu}\mathrm{d} x^\mu\mathrm{d} x^\nu=-(\mathrm{d} x^0)^2+(\mathrm{d} x^1)^2\) ,对于类时联系的两点，有线长 \(l=\int_p^q \sqrt{-\mathrm{d} s^2}\) 。我们总可以把两点通过洛伦兹变换将其均落在时间轴上。 如上图所示，粉色的测地线 \(C_1\) 与近邻的橙色曲线 \(C_2\) 比较，有： \[\int_{C_2}\sqrt{-\mathrm{d} s^2}=\int_{C_2}\sqrt{-(-\mathrm{d} t^2+\mathrm{d} x^2)}<\int_{C_1}\sqrt{\mathrm{d} t^2}=t_q-t_p\] 即，此时测地线取极大值

3.4 黎曼曲率张量 #

导数算符无挠性保证 \([\nabla_a,\nabla_b]f=0\) ，但对矢量场和更高阶的张量场未必为0.黎曼曲率张量是用来衡量这种非对易性的量。

下面的定理说明，导数算符的对易子作用于矢量场上，值只与矢量场的这一点有关，因此可以像克氏符一样做线性展开：

因此称欧式空间和闵氏空间都是平直空间。闵氏空间类似于欧式空间，因此称为伪欧空间。

黎曼曲率的性质

1. \(R_{abc}{}^d = -R_{bac}{}^d\)

易证。

2. 循环恒等式： \(R_{[abc]}{}^d=0\)

3. Bianchi恒等式： \(\nabla_{[a}R_{bc]d}{}^e=0\)

若存在度规场 \(g_{ab}\) ，且与导数适配： \(\nabla_ag_{bc}=0\) ,定义 \(R_{abcd}\equiv g_{de}R_{abc}{}^e\) 则曲率张量还有性质：

4. \(R_{abcd}=-R_{abdc}\)
5. \(R_{abcd} = R_{cdab}\)

定义 \((0,2)\) 型张量的trace为经过度规升降后的(1,1)型张量的trace: \[T_{ab}\to T^a{}_b = g^{ac}T_{cb}\\ T^a{}_a = g^{ac}T_{ca}\] 对于四阶曲率张量，可以定义 \(C^2_4=6\) 种trace： \[g^{ab}R_{abcd},\\ g^{ac}R_{abcd},\\ g^{ad}R_{abcd},\\ g^{bc}R_{abcd},\\ g^{bd}R_{abcd},\\ g^{cd}R_{abcd}\] 但由于前两指标和后两指标分别反对称，第一个和第六个一定=0；同时有第2个=第5个，第3个=第4个。同时第3、4个+第2、5个=0，因此曲率张量只有一种独立的缩并。记 \[g^{ac}R_{abcd}\equiv R_{bd}\\ g^{bd}R_{abcd}\equiv R_{ac}\] \(R_{ac}\) 称为里奇（Ricci）张量。如果在流形上没有定义度规 \(g_{ab}\) ，我们能否定义里奇张量？答案是肯定的。因为曲率张量 \(R_{abc}{}^d\) 天生为(1,3)型张量，可以直接定义缩并 \(R_{ac}\equiv R_{abc}{}^b\) 记 \(R \equiv g^{ac}R_{ac}\) 为标量曲率(Scalar Curvature)，它的定义依赖于度规。 此外，还应掌握 \(R_{abc}{}^d\) 的无迹部分，叫做Weyl张量: \[C_{abcd} \equiv R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a}) + \frac{2}{(n-1)(n-2)}Rg_{a[c}g_{d]b}\]

3.4.2 由度规计算黎曼曲率 #

在 \((M,g_{ab})\) 上选定一个基底场，由度规可以决定唯一的联络 \(\nabla_a\) ，因而有确定的黎曼张量 \(R_{abc}{}^d\) .下面计算它的分量。

\[\begin{aligned} \nabla_a\nabla_b\omega_c &= \partial_a\nabla_b\omega_c-\Gamma^d{}_{ab}\nabla_d\omega_c-\Gamma^d{}_{ac}\nabla_b\omega_d\\ &=(\partial_a(\partial_b\omega_c-\Gamma^e{}_{bc}\omega_e))-\cdots\\ &=\partial_a\partial_b\omega_c-\Gamma^e{}_{bc}\partial_a\omega_e-\omega_e\partial_a\Gamma^e{}_{bc}-\Gamma^d{}_{ab}\nabla_d\omega_c-\Gamma^d{}_{ac}(\partial_b\omega_d-\Gamma^e{}_{bd}\omega_e) \end{aligned}\] 对a,b做反对称: \[\begin{aligned} \nabla_{[a}\nabla_{b]}\omega_c &=\partial_{[a}\partial_{b]}\omega_c-\Gamma^e{}_{c[b}\partial_{a]}\omega_e-\omega_e\partial_{[a}\Gamma^e{}_{b]c}-\Gamma^d{}_{[ab]}\nabla_d\omega_c-\Gamma^d{}_{c[a}(\partial_{b]}\omega_d-\Gamma^e{}_{b]d}\omega_e)\\ &= -\partial_{[a}\Gamma^e{}_{b]c}\omega_e+\Gamma^d{}_{c[a}\Gamma^e{}_{b]d}\omega_e\\ &= -\partial_{[a}\Gamma^d{}_{b]c}\omega_d+\Gamma^e{}_{c[a}\Gamma^d{}_{b]e}\omega_d \end{aligned}\] 第1、4项为0，第二项和第五项相消，原式为： \[\begin{aligned} R_{abc}{}^d\omega_d&=2\nabla_{[a}\nabla_{b]}\omega_c\\ &=-2(\partial_{[a}\Gamma^d{}_{b]c}\omega_d-\Gamma^e{}_{c[a}\Gamma^d{}_{b]e}\omega_d),\forall \omega_d\\ R_{abc}{}^d&=-(\partial_a\Gamma^d{}_{bc}-\partial_b\Gamma^d{}_{ac})+\Gamma^e{}_{ca}\Gamma^d{}_{be}-\Gamma^e{}_{cb}\Gamma^d{}_{ae}\\ R_{\mu\nu\sigma}{}^\rho &= \partial_{\nu}\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}-\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}+\Gamma^{\lambda}{}_{\sigma\mu}\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}-\Gamma^\lambda{}_{\sigma\nu}\Gamma^{\rho}{}_{\mu\lambda} \end{aligned}\] 由 \(g_{\mu\nu}\) 计算 \(\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}=\frac 1 2 g^{\rho\nu}(g_{\nu\mu,\sigma}+g_{\sigma\nu,\mu}-g_{\mu\sigma,\nu})\) ,然后就能得到 \(R_{\mu\nu\sigma}{}^\rho\) 的值