created:2022-11-12 11:12:20
last modified: 2023-02-07 22:29:02
1.1 集合论初步
#
这部分比较简单，略
1.2 拓扑空间
#
拓扑空间被定义为
\((X,\mathscr{T})\)
，其中 \[\mathscr T \subset 2^X\]
是X的全部开集的集合。开集要满足任意并和有限交的封闭性。
\(\mathscr T\)
选取任意性：
凝聚拓扑
\(\mathscr T= \{X,\emptyset\}\)
离散拓扑
\(\mathscr T = 2^X\)
通常拓扑，对
\(\mathbb{R}^n\)
来讲就是普通的开区间，和能表示为开区间并的子集 \(A\subset X\)
,指定拓扑
\(A,\mathscr S\)
A有可能不属于
\(\mathscr T\)
，可以定义
\(\mathscr S\)
为： \[\mathscr S:=\left\{V\subset A\middle|\exists O\in \mathscr T\text{such that}V=A\cap O\right\}\]
\(\mathscr S\)
为A的由
\(\mathscr T\)
导出的诱导拓扑。
\((A,\mathscr S)\)
为
\((X,\mathscr T)\)
的topological subspace
\((X,\mathscr T)和(Y,\mathscr S)\)
为拓扑空间，映射
\(f:X\to Y\)
连续，若 \[f^{-1}[O]\in \mathscr T\ \ \forall O\in \mathscr S\]
映射f在点
\(x\in X\)
连续，若任意
\(G'\in \mathscr S\ \text{such that}\ f(x)\in G'\)
,
\(\exists G\in \mathscr T\)
使得
\(x\in G,f[G]\subset G'\)
.
...
created:2022-11-12 13:33:59
last modified: 2023-02-26 17:53:31
2.1 微分流形
#
拓扑空间
\((M,\mathscr T)\)
称为n维微分流形(n-dimensional differentiable manifold)，若
\(M\)
有开覆盖
\(\{O_\alpha\}\)
满足： a. \(\forall O_\alpha ,\exists 同胚\Psi_\alpha:O_\alpha\to V_\alpha\)
(
\(V_\alpha\)
为
\(\mathbb{R}^n\)
用通常拓扑衡量的开子集); b. \(\text{if}\ O_\alpha \cap O_\beta \ne \emptyset\)
，复合映射
\(\Psi_\beta\circ \Psi_\alpha^{-1}\)
是
\(C^\infty\)
光滑的。
\(\psi_\beta \circ \psi_\alpha^{-1}\)
是
\(\mathbb{R}^n\)
的子集之间的映射，每个点都有n个自然坐标。因此它提供了n个n原函数。
\(C^\infty\)
表示每个n元函数都是无穷阶光滑的。尽管原来的拓扑空间没有坐标，但其中的开覆盖有了和
\(\mathbb{R}^n\)
的同胚之后就可以用
\(\mathbb{R}^n\)
的坐标去定义其中点的坐标。每个开覆盖对应的同胚不同，因此两个覆盖的交集就有了两套坐标
\(\{x^\mu\},\{x^\nu\}\)
，映射
\(\psi_\beta\circ\psi_\alpha^{-1}\)
提供的就是二者的一个坐标变换。
\(C^\infty\)
光滑对应的流形为光滑流形，类似还可定义
\(C^r\)
流形、解析流形
\((O_\alpha,\psi_\alpha)\)
称作图(chart),满足定义1的
\(\{(O_\alpha,\psi_\alpha)\}\)
为图册，条件b又称作相容性条件。
例1：容易知道
\(\mathbb{R}^n,\mathscr T_u\)
是平凡流形。
\(M=(S^1,\mathscr S)\)
，其中
\(S^1\)
并不与
\(\mathbb{R}\)
同胚，因此要取至少两个图，才能证明其为流形。
...
created:2022-12-25 23:33:17
last modified: 2023-02-26 17:17:01
\[\global\def\ccc{c_1\cdots c_l}
\global\def\bbb{b_1\cdots b_k}
\global\def\ddd{d_1\cdots d_k'}
\global\def\eee{e_1\cdots e_l'}\]
黎曼（内禀）曲率张量
#
3.1 导数算符
把nabla算子推广到任意流形，其上可以没有度规，所以要分清矢量和对偶矢量。在推广
\(\vec\nabla\)
时它更像对偶矢量，故记作
\(\nabla_a\)
。
记
\(\mathscr F_M(k,l)\)
为流形M上全体
\(C^\infty\)
的
\((k,l)\)
型张量场集合(函数
\(f\)
视为标量场，因此
\(\mathscr F_M(0,0)=\mathscr F_M\)
.)映射
\(\nabla:\mathscr F_M(k,l)\to\mathscr F_M(k,l+1)\)
称为M上的无挠导数算符，若它满足：
线性性：
\(\nabla_a(\alpha T^{\bbb}{}_{\ccc}+\beta S^{\bbb}{}_{\ccc})=\alpha \nabla_a T^{\bbb}{}_{\ccc}+\beta\nabla_a S^{\bbb}{}_{\ccc}\)
满足Leibnitz律: \[\nabla_a(T^{\bbb}{}_{\ccc}S^{\ddd}{}_{\eee} )= T^{\bbb}_{\ccc}\nabla_a S^{\ddd}{}_{\eee} + S^{\ddd}{}_{\eee}\nabla_a T^{\bbb}{}_{\ccc}\]
与缩并可换序; \(v(f)=v^a\nabla_a f\)
,
\(\forall f\in\mathscr F_M,v\in \mathscr F_M(1,0)\)
; 无挠性(torsion-free):
\(\nabla_a\nabla_b f=\nabla_b\nabla_a f,\forall f\in \mathscr F_M\)
条件3记作
\(\nabla\circ C=C\circ \nabla\)
,以后常写作
...
created:2023-01-11 16:59:05
last modified: 2023-02-26 17:17:02
chap4:Lie derivatives, Killing fields, hypersurfaces
#
4.1 流形间的映射
#
设
\(M,N\)
为流形，
\(\phi:M\to N\)
为光滑映射，
\(\mathscr F_M\)
和
\(\mathscr F_N\)
分别为M和N上光滑函数的集合,
\(\mathscr F_M(k,l),\mathscr F_N(k,l)\)
分别为M和N上光滑张量场集合,由
\(\phi\)
自然诱导出一系列映射：
\(\phi^*:\mathscr F_N\to\mathscr F_M\)
定义为： \[(\phi^*f)|_p :=f|_{\phi(p)},\forall f\in\mathscr F_N,p\in M\]
或者写成：
\((\phi^*f)(p)=f(\phi(p))\)
线性 \(\phi^*(fg)=\phi^*(f)\phi^*(g)\)
\(\phi_*:V_p\to V_{\phi(p)}\)
定义为： \[(\phi_*v)(f):=v(\phi^*f),\forall f\in\mathscr F_N\]
\(\phi_*\)
是线性映射：
\(\phi_*(\alpha u^a+\beta v^a) = \alpha\phi_*u^a+\beta\phi_* v^a\)
拉回映射可延拓至
\(\phi^*:\mathscr F_N(0,l)\to \mathscr F_M(0,l)\)
：对任意
\(T\in\mathscr F_N(0,l)\)
，定义
\(\phi^*T\in \mathscr F_M(0,l)\)
为： \[(\phi^*T)_{a_1\cdots a_l}|_p (v_1)^{a_1}\cdots (v_l)^{a_l}:= T_{a_1\cdots a_l}|_{\phi(p)} (\phi_*v_1)^{a_1}\cdots (\phi_*v_l)^{a_l},\forall p\in M,v_1\cdots v_l\in V_p\]
推前映射
\(\phi_*\)
可按如下方式延拓为
\(p\)
到
\(\phi(p)\)
张量空间的映射：
\(\phi_*:\mathscr T_{V_p}(k,0)\to \mathscr T_{V_{\phi(p)}}(k,0)\)
: \[(\phi_* T)^{a_1\cdots a_k}(\omega^1)_{a_1}\cdots(\omega^k)_{a_k}:=T^{a_1\cdots a_k}(\phi^*\omega^1)_{a_1}\cdots (\phi^*\omega^k)_{a_k},\\ \forall \omega^1\cdots\omega^k \in V^* _{\phi(p)},T\in\mathscr T_{V_p}(k,0)\]
其中
\(\phi^*\omega_a\)
定义为
\((\phi^*\omega)_av^a\equiv \omega_a(\phi_*v)^a\)
拉回映射的延拓是拉回映射
\(k=1\)
时的特例，拉回映射是把N上的
\((0,l)\)
型张量场变成M上同类型张量场，是场之间的变换； 推前映射的延拓是推前映射
\(l=0\)
时的特例，推前映射是把
\(p\)
点
\((k,0)\)
型张量变为像点
\(\phi(p)\)
点的同型张量，但不能变成场和场之间的映射，因为对N上任意一个点
\(q\)
，M中不一定存在它的原像
\(p=\phi^{-1}(q)\)
，因此张量场在
\(q\)
处的值就无法定义。
...
created:2023-01-26 17:14:58
last modified: 2023-02-26 17:17:01
5.1 微分形式
#
先介绍
\(n\)
维空间
\(V\)
上的形式，再讨论
\(n\)
维流形
\(M\)
上的微分形式场。
\(\omega_{a_{1}a_{2}\dots a_{l}}\in \mathscr T_{V}(0,l)\)
叫
\(V\)
上的l次形式，若 \[\omega _{a_{1}a_{2}\cdots a_{l}}=\omega_{[a_{1}\dots a_{l}]}\]
为书写方便，有时略去下标，将形式
\(\omega_{a_{1}\dots a_{l}}\)
写为
\(\mathbf{ \omega}\)
由定义知，1形式就是
\(V\)
上对偶矢量,
\(\Lambda(1)=V^*\)
.约定把任意实数称为
\(V\)
上0形式，则
\(\lambda(0)=\mathbb{R}\)
若微分形式某分量有两个指标重复，则整个分量为0. 记
\(\mathscr{T}_{V}(0,l)\)
是全体(0,l)型矢量空间的集合，全体l-form的集合记为
\(\Lambda(l)\)
，则
\(\Lambda(l)\subset \mathscr{T}_{V}(0,l)\)
\[\dim \Lambda(l) = \begin{cases}
\frac{n!}{l!(n-l)!},& l\ge n\\ \\
0, & l<n
\end{cases}\]
proof:对
\(n=3,l=2\)
情形， \[\begin{aligned}
\omega_{ab}&=\omega_{11}(e^1)_{a}(e^1)_{b} + \omega_{12}(e^1)_{a}(e^2)_{b}+\omega_{13}(e^1)_{a}(e^3)_{b}+\dots \\ \\
&= \omega_{12}(e^1)_{a}\wedge(e^2)_{b}+\omega_{13}(e^1)_{a}\wedge (e^3)_{b}+\omega_{23}(e^2)_{a}\wedge(e^3)_{b} \\
\end{aligned}\]
推广到一般情形，就有： \[\omega_{ab}=\sum_{C}\omega_{\mu\nu}(e^\mu)_{a}\wedge (e^\nu)_{b}\\ \omega_{a_{1}\dots a_{l}}=\sum_{C}\omega_{\mu_{1}\dots\mu_{l}}(e^{\mu_{1}})_{a_{1}}\wedge \dots\wedge (e^{\mu_{l}})_{a_{l}}\]
其中
\(\sum_{c}\)
表示对
\(n\)
个数中取
\(l\)
个数的各种组合求和，即，
\(\Lambda(l)\)
的基底矢量共
\(C_n^l\)
个 当
\(l<n\)
时，
\(\Lambda(l)\)
一定有重复指标，因而只有零元一个元素。
...
created:2023-02-09 22:03:25
last modified: 2023-02-23 08:29:22
6.1 四维表述基础
#
这里所讲的狭义相对论（SR）与普物中的很相似，许多概念在此只作提及，重点看广义相对论（GR）中存在不同的地方。
一些物理名词与数学名词的对应：
Phys Math innertial coordinates Lorenzian coordinates interval Minkowski line element background spacetime 4-dim Minkowski space observer(point mass) timelike curve inertial observer timelike geodesics 所谓事件，就是时间一瞬和空间一点的结合。我们可以将炸弹爆炸、两车相撞等都抽象为事件。
粒子是对空间中有质量的点的抽象。与粒子物理学中的质子、中子等有联系，但也不尽相同。我们把粒子分为有静质量和无静质量两类，后者也称为光子。
世界线的表示称为时空图。在时空图上，我们能表示不同世界线的演化过程。
观者（Observer）是进行物理观测的人，一般也抽象为质点。为了观测，观测者手中应有一个走时准确的钟，称为标准钟，该钟的读数称为固有时。观者也有自己的运动轨迹，形成一条世界线。
观者中有一类特殊的观者，称为惯性观者。惯性观者相对于所在的惯性坐标系是静止的。惯性观者形成的世界线
\(C(t)\)
是类时测地线： \[\begin{aligned}
\partial_{b}(\partial /\partial t)^a &= 0 \\
\left( \frac{\partial}{\partial t}\right)^b\partial_{b}\left( \frac{\partial}{\partial t} \right)^a &= 0& \end{aligned}\]
其中第一式是由于一个系的普通导数算符作用到坐标基矢上必然为0.
参考系的定义与狭义相对论不同。参考系
\(\mathscr{R}\)
是无数多观者的集合，这些观者应满足条件：对时空中任意一点，有且仅有一个观者的世界线经过这点。该定义是对狭义相对论中参考系定义的推广：在狭义相对论中，对于一个惯性参考系，该系的所有观者均相对静止，形成的世界线均平行于
\(t\)
轴。
所有惯性观者构成的参考系称为惯性参考系
牛顿力学、狭义相对论以及广义相对论的时空及其附加结构： \[\begin{aligned}
\text{Newton:}&(\mathbb{R}^4,?)\\
\text{SR:}&(\mathbb{R}^4,\eta_{ab})\\
\text{GR:}&(M,g_{ab})
\end{aligned}\]
狭义相对论是发生在四维闵可夫斯基空间中的物理学。 狭义相对论中，一个质点的速率定义为： \[u:=\frac{\sqrt{ \mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2 }}{\mathrm{d}t}\]
\[\begin{aligned}
\mathrm{d}s^2 & = -\mathrm{d}t^2+\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2 = \\
&=-\mathrm{d}t^2(1-\frac{\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2}{dt^2}) \\
&=-\mathrm{d}t^2(1-u^2)
\end{aligned}\]
于是我们有 \[\begin{aligned}
\text{null}\leftrightarrow& \mathrm{d}s^2=0\leftrightarrow u=1\\
\text{time like}\leftrightarrow& \mathrm{d}s^2<0\leftrightarrow u<1 \\
\text{space like}\leftrightarrow& \mathrm{d}s^2>0
\end{aligned}\]
设
\(\{x^\mu\}\)
是洛伦兹坐标系，我们通过微分同胚
\(\phi\)
将其变换为坐标系
\(\{x'^\mu\}\)
。当变换满足什么条件时，新的参考系是洛伦兹坐标系？ 在第四章我们曾讲过，微分同胚映射
\(\phi\)
是等度规映射即可满足条件。Killing矢量场产生的单参微分同胚群即为单参等度规群。对于闵氏空间，有10个独立的Killing矢量场，分别为4个时空平移，3个空间转动和3个boost。
...
created:2022-12-13 19:55:38
last modified: 2022-12-16 10:30:43
Group theory补充：
#
\((X,\theta(X)),(Y,\theta(Y))\)
都是拓扑空间，
\(Z=X\otimes Y\)
是X与Y的直积集，令 \[\theta(Z) = \left\{O=\bigcup_{O_1\in\tilde{O_1},O_2\in\tilde{O_2}} O_1\otimes O_2|\tilde{O_1}\in \theta(X),\tilde{O_2}\in\theta(Y)\right\}\]
则
\(\theta(Z)\)
是Z上的一个拓扑，
\((Z,\theta(Z))\)
是X和Y的直积拓扑空间
\((X,\theta)\)
为连通拓扑空间，若
\(\nexists\ 开集\ O_1,O_2\ \text{such that}\)
\[O_1\cup O_2=X \\ P_1\cap O_2 = \emptyset \\\]
则称
\((X,\theta)\)
是连通的拓扑空间；反之则是不连通的
道路连通与连通的区别：道路连通的条件更加严格，道路连通的拓扑空间一定连通。
\((X,\mathscr\theta(X)),(Y,\mathscr\theta(Y))\)
是拓扑空间，如果
\(f:X\to Y\)
满足：
\(\forall x\in X,\forall f(x)邻域 V_{f(x)}\subset Y\)
,则
\(\exists x\)
的邻域
\(U_x\ \text{such that}\ f(U_x)\subset V_{f(x)}\)
，则称映射
\(f\)
在
\(x\)
点连续
\(f:X\to Y\)
是两拓扑空间的映射，下面四条件等价：
\(f\)
是连续映射 \(Y\)
中开集的原像为
\(X\)
中的开集 \(Y\)
中闭集原像为闭集 \(\forall A\subset X\)
,
\(f(\bar{A})\subset \overline{f(A)}\)
,
\(\bar{A}\)
为A的闭包 道路
\(\alpha\)
是连续映射
\(I=[0,1]\to X\)
，它连接
\(\alpha(0)=x_0\)
和
\(\alpha(1)=x_1\)
,是连接两点的一条道路
...
created:2022-12-06 14:16:11
last modified: 2022-12-06 17:02:29
1.Lebesgue外测度与可测集
#
测度是体积概念的推广
E是
\(\mathbb{R}^n\)
点集，若
\(E\)
存在一系列开矩体
\(I_k,k=1,2,\cdots\)
，则它确定了一个非负实数 \[u = \sum_{k=1}^{\infty } |I_k|\]
，记 \[m^*(E) = \inf\left\{u|u=\sum_{k=1}^{\infty } |I_k|,E\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k,I_k为开矩体 \right\}\]
称
\(m^*(E)\)
为集合E的外测度
非负 单调（有包含关系的集合测度单调增加） 次可加性（集合的并的外测度小于等于组成部分测度和） 平移不变性（给每个点均进行平移，得到的新集合测度不变） 一些例子：
可数个点测度为0 n维实空间的超平面测度为0 Cantor集测度为0 2. Lebesgue可测集
#
Lebesgue外测度没有可加性，即有一些集合的外测度不具有可加性。除掉这些集合，得到的的集族具有可列可加性，成为体积、长度概念推广。
设
\(E\subset\mathbb{R}^n\)
,若
\(\forall T\subset\mathbb{R}^n\)
，有 \[m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c),\]
则称E是Lebesgue可测集，简称可测集，记作
\(\frak M\)
可测集性质：
\(\emptyset\in\frak M,m(\emptyset)=0\)
\(E\in\frak M\Rightarrow E^c\in \frak M\)
\(E,F\in\frak M,\Rightarrow E\cup F,E\cap F,E-F\in \frak M\)
可列可加性：
\(E_j\in\frak M,j=1,2,\cdots\Rightarrow\bigcup_{j=1}^\infty E_j \in\frak M\)
,若
\(E_j\)
之间互不相交，则满足可加性： \[m\left(\bigcup_{j=1}^\infty E_j \right)= \sum_{j=1}^{\infty } m(E_j)\]
3.
...
created:2022-09-14 18:21:26
last modified: 2022-09-14 18:21:28
本文是参考了《实变函数与泛函分析》第一章写出的科普文，也希望能让各位对“有限”与“无限”的区别与联系有一个更数学的认识。 有限其实已经为我们所熟知了。但很多人碰到“无穷”这个概念时常常会感到十分困惑：无穷大是什么？无穷大的量之间该如何比较？本篇文章将带你走进这些问题的数学研究。
集合
#
集合就是把一类不相同的事物聚集在一起。比如把三个人堆在一起，
\(A=\{张三，李四，王五\}\)
就构成一个集合，全体自然数堆在一起，
\(\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}\)
也构成一个集合。集合中的每个事物叫做元素，元素可以是一本书，一个人，或者一粒沙子，总之什么都可以。对于一个元素
\(x\)
，它如果在集合
\(S\)
中，就叫做
\(x\)
属于集合S,记作
\(x\in S\)
。反之，若
\(x\)
不在集合中，则
\(x\)
不属于
\(S\)
，
\(x\notin S\)
。
元素与集合之间存在“属于”或“不属于”的关系，而集合与集合之间则可以比较。比如集合A包含B，换言之B是A的子集，说的就是
\(\forall a\in B,a\in A\)
，记作
\(B\subseteq A\)
,如果B和A不相同，则B是A的真子集，
\(B\subset A\)
显然，有些集合的元素个数是有限的，比如上面的
\(A\)
就只有3个元素，这叫做有限集，是我们熟悉的情况；但也有些集合元素个数无限，比如自然数集
\(\mathbb{N}\)
和实数集
\(\mathbb{R}\)
。这些叫做无限集。
笛卡尔积
#
假设我们有两个集合
\(A,B\)
，从
\(A\)
中取出一个元素
\(a\)
，再从
\(B\)
中取出一元素
\(b\)
，它们的有序对
\((a,b)\)
构成的集合称作集合
\(A,B\)
的笛卡尔积笛卡尔积，记作
\(A\times B\)
。 用数学语言描述，就是： \[A\times B = \{(a,b)|\forall a\in A,b\in B\}\]
笛卡尔积的使用也很常见。比如，
\(\mathbb R\)
表示实数，那么
\(\mathbb R\times \mathbb R\)
就是二维欧式空间，
\(\mathbb R^n =\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\in \mathbb R,1\le i\le n\}\)
是n维欧式空间。
...
created:2022-09-14 18:21:26
last modified: 2022-09-14 18:21:27
Lebesgue 可测函数
#
definition: 设
\(E\subset \mathbb R^n\)
是可测集，f是E上的函数，如果对于任意常数t，集合 \[E(f>t)\equiv \{x\in \mathbb R^n | x \in E,f(x)>t \}\]
都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数，简称为E上的可测函数，也可以称f在E上可测。约定以
\(\mathcal M (E)\)
记E上的Lebesgue可测函数全体。