created:2022-12-06 14:16:11
last modified: 2022-12-06 17:02:29
1.Lebesgue外测度与可测集
#
测度是体积概念的推广
E是
\(\mathbb{R}^n\)
点集，若
\(E\)
存在一系列开矩体
\(I_k,k=1,2,\cdots\)
，则它确定了一个非负实数 \[u = \sum_{k=1}^{\infty } |I_k|\]
，记 \[m^*(E) = \inf\left\{u|u=\sum_{k=1}^{\infty } |I_k|,E\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k,I_k为开矩体 \right\}\]
称
\(m^*(E)\)
为集合E的外测度
非负 单调（有包含关系的集合测度单调增加） 次可加性（集合的并的外测度小于等于组成部分测度和） 平移不变性（给每个点均进行平移，得到的新集合测度不变） 一些例子：
可数个点测度为0 n维实空间的超平面测度为0 Cantor集测度为0 2. Lebesgue可测集
#
Lebesgue外测度没有可加性，即有一些集合的外测度不具有可加性。除掉这些集合，得到的的集族具有可列可加性，成为体积、长度概念推广。
设
\(E\subset\mathbb{R}^n\)
,若
\(\forall T\subset\mathbb{R}^n\)
，有 \[m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c),\]
则称E是Lebesgue可测集，简称可测集，记作
\(\frak M\)
可测集性质：
\(\emptyset\in\frak M,m(\emptyset)=0\)
\(E\in\frak M\Rightarrow E^c\in \frak M\)
\(E,F\in\frak M,\Rightarrow E\cup F,E\cap F,E-F\in \frak M\)
可列可加性：
\(E_j\in\frak M,j=1,2,\cdots\Rightarrow\bigcup_{j=1}^\infty E_j \in\frak M\)
,若
\(E_j\)
之间互不相交，则满足可加性： \[m\left(\bigcup_{j=1}^\infty E_j \right)= \sum_{j=1}^{\infty } m(E_j)\]
3.
...
created:2022-09-14 18:21:26
last modified: 2022-09-14 18:21:28
本文是参考了《实变函数与泛函分析》第一章写出的科普文，也希望能让各位对“有限”与“无限”的区别与联系有一个更数学的认识。 有限其实已经为我们所熟知了。但很多人碰到“无穷”这个概念时常常会感到十分困惑：无穷大是什么？无穷大的量之间该如何比较？本篇文章将带你走进这些问题的数学研究。
集合
#
集合就是把一类不相同的事物聚集在一起。比如把三个人堆在一起，
\(A=\{张三，李四，王五\}\)
就构成一个集合，全体自然数堆在一起，
\(\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}\)
也构成一个集合。集合中的每个事物叫做元素，元素可以是一本书，一个人，或者一粒沙子，总之什么都可以。对于一个元素
\(x\)
，它如果在集合
\(S\)
中，就叫做
\(x\)
属于集合S,记作
\(x\in S\)
。反之，若
\(x\)
不在集合中，则
\(x\)
不属于
\(S\)
，
\(x\notin S\)
。
元素与集合之间存在“属于”或“不属于”的关系，而集合与集合之间则可以比较。比如集合A包含B，换言之B是A的子集，说的就是
\(\forall a\in B,a\in A\)
，记作
\(B\subseteq A\)
,如果B和A不相同，则B是A的真子集，
\(B\subset A\)
显然，有些集合的元素个数是有限的，比如上面的
\(A\)
就只有3个元素，这叫做有限集，是我们熟悉的情况；但也有些集合元素个数无限，比如自然数集
\(\mathbb{N}\)
和实数集
\(\mathbb{R}\)
。这些叫做无限集。
笛卡尔积
#
假设我们有两个集合
\(A,B\)
，从
\(A\)
中取出一个元素
\(a\)
，再从
\(B\)
中取出一元素
\(b\)
，它们的有序对
\((a,b)\)
构成的集合称作集合
\(A,B\)
的笛卡尔积笛卡尔积，记作
\(A\times B\)
。 用数学语言描述，就是： \[A\times B = \{(a,b)|\forall a\in A,b\in B\}\]
笛卡尔积的使用也很常见。比如，
\(\mathbb R\)
表示实数，那么
\(\mathbb R\times \mathbb R\)
就是二维欧式空间，
\(\mathbb R^n =\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\in \mathbb R,1\le i\le n\}\)
是n维欧式空间。
...
created:2022-09-14 18:21:26
last modified: 2022-09-14 18:21:27
Lebesgue 可测函数
#
definition: 设
\(E\subset \mathbb R^n\)
是可测集，f是E上的函数，如果对于任意常数t，集合 \[E(f>t)\equiv \{x\in \mathbb R^n | x \in E,f(x)>t \}\]
都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数，简称为E上的可测函数，也可以称f在E上可测。约定以
\(\mathcal M (E)\)
记E上的Lebesgue可测函数全体。
created:2022-09-14 18:21:26
last modified: 2022-12-06 14:46:05
\(\sigma\)
代数
#
令
\(\mathcal{F}\)
是由集合X中的一些子集构成的集合组(
\(\mathcal F \subset 2^X\)
)，如果满足：
\[\begin{array}{rl}
(1) &\emptyset \in \mathcal{F}\\
(2)&若A\in \mathcal{F} ,则A^c\in \mathcal{F}\\
(3)&若A_n \in \mathcal F , 则\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal F
\end{array}\]
那么
\(\mathcal F\)
是X的一个 \(\sigma\)
代数
为什么要可列并集也在
\(\mathcal F\)
内,不是交集什么的？因为要计算
\(f\left(\bigcup_i A_i \right)\)
的值，其中
\(f\)
是一种测度函数。所以任意可列并集必须在
\(\mathcal F内\)
。
\(\emptyset\)
和
\(2^X\)
是两个平凡的σ代数。
有限多个开集的交是开集，任意多开集的并是开集； 有限多个闭集的并是闭集，任意多闭集的交是闭集。
\(F_\sigma\)
集，
\(G_\delta\)
集
#
开集与闭集的性质： \(F_\sigma\)
集
\(A\subset \mathbb R^n\)
是可数个闭集的并集。 \(G_\delta\)
集
\(B\subset \mathbb R^n\)
是可数个开集的交集。
...
created:2022-09-14 18:21:26
last modified: 2022-12-06 14:46:05
\(\sigma\)
代数
#
令
\(\mathcal{F}\)
是由集合X中的一些子集构成的集合组(
\(\mathcal F \subset 2^X\)
)，如果满足：
\[\begin{array}{rl}
(1) &\emptyset \in \mathcal{F}\\
(2)&若A\in \mathcal{F} ,则A^c\in \mathcal{F}\\
(3)&若A_n \in \mathcal F , 则\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal F
\end{array}\]
那么
\(\mathcal F\)
是X的一个
\(\sigma\)
代数
为什么要可列并集也在
\(\mathcal F\)
内,不是交集什么的？因为要计算
\(f\left(\bigcup_i A_i \right)\)
的值，其中
\(f\)
是一种测度函数。所以任意可列并集必须在
\(\mathcal F内\)
。
\(\emptyset\)
和
\(2^X\)
是两个平凡的σ代数。
有限多个开集的交是开集，任意多开集的并是开集； 有限多个闭集的并是闭集，任意多闭集的交是闭集。
\(F_\sigma\)
集，
\(G_\delta\)
集
#
开集与闭集的性质： \(F_\sigma\)
集
\(A\subset \mathbb R^n\)
是可数个闭集的并集。 \(G_\delta\)
集
\(B\subset \mathbb R^n\)
是可数个开集的交集。
...
last modified: 22-09-14 18:21:28
本文是参考了《实变函数与泛函分析》第一章写出的科普文，也希望能让各位对“有限”与“无限”的区别与联系有一个更数学的认识。 有限其实已经为我们所熟知了。但很多人碰到“无穷”这个概念时常常会感到十分困惑：无穷大是什么？无穷大的量之间该如何比较？本篇文章将带你走进这些问题的数学研究。
集合
#
集合就是把一类不相同的事物聚集在一起。比如把三个人堆在一起，
\(A=\{张三，李四，王五\}\)
就构成一个集合，全体自然数堆在一起，
\(\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}\)
也构成一个集合。集合中的每个事物叫做元素，元素可以是一本书，一个人，或者一粒沙子，总之什么都可以。对于一个元素
\(x\)
，它如果在集合
\(S\)
中，就叫做
\(x\)
属于集合S,记作
\(x\in S\)
。反之，若
\(x\)
不在集合中，则
\(x\)
不属于
\(S\)
，
\(x\notin S\)
。
元素与集合之间存在“属于”或“不属于”的关系，而集合与集合之间则可以比较。比如集合A包含B，换言之B是A的子集，说的就是
\(\forall a\in B,a\in A\)
，记作
\(B\subseteq A\)
,如果B和A不相同，则B是A的真子集，
\(B\subset A\)
显然，有些集合的元素个数是有限的，比如上面的
\(A\)
就只有3个元素，这叫做有限集，是我们熟悉的情况；但也有些集合元素个数无限，比如自然数集
\(\mathbb{N}\)
和实数集
\(\mathbb{R}\)
。这些叫做无限集。
笛卡尔积
#
假设我们有两个集合
\(A,B\)
，从
\(A\)
中取出一个元素
\(a\)
，再从
\(B\)
中取出一元素
\(b\)
，它们的有序对
\((a,b)\)
构成的集合称作集合
\(A,B\)
的笛卡尔积笛卡尔积，记作
\(A\times B\)
。 用数学语言描述，就是： \[A\times B = \{(a,b)|\forall a\in A,b\in B\}\]
笛卡尔积的使用也很常见。比如，
\(\mathbb R\)
表示实数，那么
\(\mathbb R\times \mathbb R\)
就是二维欧式空间，
\(\mathbb R^n =\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\in \mathbb R,1\le i\le n\}\)
是n维欧式空间。
...