sigma
created:2022-09-14 18:21:26last modified: 2022-12-06 14:46:05
\(\sigma\) 代数 #
令
\(\mathcal{F}\)
是由集合X中的一些子集构成的集合组(
\(\mathcal F \subset 2^X\)
)，如果满足：
\[\begin{array}{rl}
(1) &\emptyset \in \mathcal{F}\\
(2)&若A\in \mathcal{F} ,则A^c\in \mathcal{F}\\
(3)&若A_n \in \mathcal F , 则\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal F
\end{array}\]
那么 \(\mathcal F\) 是X的一个
\(\sigma\)
代数
为什么要可列并集也在
\(\mathcal F\)
内,不是交集什么的？因为要计算
\(f\left(\bigcup_i A_i \right)\)
的值，其中
\(f\)
是一种测度函数。所以任意可列并集必须在
\(\mathcal F内\)
。
\(\emptyset\)
和
\(2^X\)
是两个平凡的σ代数。
有限多个开集的交是开集，任意多开集的并是开集； 有限多个闭集的并是闭集，任意多闭集的交是闭集。
\(F_\sigma\) 集， \(G_\delta\) 集 #
开集与闭集的性质： \(F_\sigma\) 集 \(A\subset \mathbb R^n\) 是可数个闭集的并集。 \(G_\delta\) 集 \(B\subset \mathbb R^n\) 是可数个开集的交集。
Borel \(\sigma\) 代数 #
由
\(\mathbb R^n\)
中一切开集构成的开集族所生成的σ代数称为
\(\mathbb R^n\)
的borel σ代数，记作
\(\mathcal B^n\)
.
\(\mathcal B^n\)
中的元素称为Borel集
显然，一切闭集、开集、
\(F_\sigma\)
集和
\(G_\sigma\)
集都是
\(\mathbb R^n\)
中的Borel集，任意Borel集的余集是Borel集。Borel集合族的可列并、可列交、上极限和下极限构成的集合是Borel集