1
created:2023-02-06 23:35:18
|
|
|
123 #
Posts
sigma
created:2022-09-14 18:21:26last modified: 2022-12-06 14:46:05
\(\sigma\) 代数 # 令 \(\mathcal{F}\) 是由集合X中的一些子集构成的集合组( \(\mathcal F \subset 2^X\) )，如果满足： \[\begin{array}{rl} (1) &\emptyset \in \mathcal{F}\\ (2)&若A\in \mathcal{F} ,则A^c\in \mathcal{F}\\ (3)&若A_n \in \mathcal F , 则\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal F \end{array}\] 那么 \(\mathcal F\) 是X的一个 \(\sigma\) 代数 为什么要可列并集也在 \(\mathcal F\) 内,不是交集什么的？因为要计算 \(f\left(\bigcup_i A_i \right)\) 的值，其中 \(f\) 是一种测度函数。所以任意可列并集必须在 \(\mathcal F内\) 。 \(\emptyset\) 和 \(2^X\) 是两个平凡的σ代数。 有限多个开集的交是开集，任意多开集的并是开集； 有限多个闭集的并是闭集，任意多闭集的交是闭集。 \(F_\sigma\) 集， \(G_\delta\) 集 # 开集与闭集的性质： \(F_\sigma\) 集 \(A\subset \mathbb R^n\) 是可数个闭集的并集。 \(G_\delta\) 集 \(B\subset \mathbb R^n\) 是可数个开集的交集。 ...
infinity
last modified: 22-09-14 18:21:28本文是参考了《实变函数与泛函分析》第一章写出的科普文，也希望能让各位对“有限”与“无限”的区别与联系有一个更数学的认识。 有限其实已经为我们所熟知了。但很多人碰到“无穷”这个概念时常常会感到十分困惑：无穷大是什么？无穷大的量之间该如何比较？本篇文章将带你走进这些问题的数学研究。 集合 # 集合就是把一类不相同的事物聚集在一起。比如把三个人堆在一起， \(A=\{张三，李四，王五\}\) 就构成一个集合，全体自然数堆在一起， \(\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}\) 也构成一个集合。集合中的每个事物叫做元素，元素可以是一本书，一个人，或者一粒沙子，总之什么都可以。对于一个元素 \(x\) ，它如果在集合 \(S\) 中，就叫做 \(x\) 属于集合S,记作 \(x\in S\) 。反之，若 \(x\) 不在集合中，则 \(x\) 不属于 \(S\) ， \(x\notin S\) 。 元素与集合之间存在“属于”或“不属于”的关系，而集合与集合之间则可以比较。比如集合A包含B，换言之B是A的子集，说的就是 \(\forall a\in B,a\in A\) ，记作 \(B\subseteq A\) ,如果B和A不相同，则B是A的真子集， \(B\subset A\) 显然，有些集合的元素个数是有限的，比如上面的 \(A\) 就只有3个元素，这叫做有限集，是我们熟悉的情况；但也有些集合元素个数无限，比如自然数集 \(\mathbb{N}\) 和实数集 \(\mathbb{R}\) 。这些叫做无限集。 笛卡尔积 # 假设我们有两个集合 \(A,B\) ，从 \(A\) 中取出一个元素 \(a\) ，再从 \(B\) 中取出一元素 \(b\) ，它们的有序对 \((a,b)\) 构成的集合称作集合 \(A,B\) 的笛卡尔积笛卡尔积，记作 \(A\times B\) 。 用数学语言描述，就是： \[A\times B = \{(a,b)|\forall a\in A,b\in B\}\] 笛卡尔积的使用也很常见。比如， \(\mathbb R\) 表示实数，那么 \(\mathbb R\times \mathbb R\) 就是二维欧式空间， \(\mathbb R^n =\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\in \mathbb R,1\le i\le n\}\) 是n维欧式空间。 ...